Definition of Constant Sequence:
- A sequence {sn} is said to be a constant sequence if all terms of a sequence are the same.
- A sequence {sn} defined by sn = a for all n∈N is called a constant sequence.
- Formally a sequence {sn} is said to be a constant sequence if for all .
For example, the sequence {a} = {a, a, a, a, a,…} is a constant sequence, because all terms of it are the same. Its range is singleton set {a}, which is a finite set.
Hence, a constant sequence is always a finite sequence.
Example 1: The sequence {2} = {2, 2, 2, …} is a constant sequence, because all terms of this sequence are the same.
Example 2: The sequence {0} = {0, 0, 0, …} is a constant sequence, because all terms of this sequence are the same.
Example 3: The sequence {-1} = {-1, -1, -1, …} is a constant sequence, because all terms of this sequence are the same.
Example 4: The sequence {(-1)n} = {-1, 1, -1, …} is not a constant sequence, because all terms of this sequence are not the same.
अचर अनुक्रम (Constant Sequence) की परिभाषा:
- यदि किसी अनुक्रम {sn} के सभी पद समान हों, तो उस अनुक्रम को एक अचर अनुक्रम कहते हैं |
- सभी n∈N के लिए sn = a द्वारा परिभाषित अनुक्रम {sn}, एक अचर अनुक्रम कहलाता है।
- औपचारिक रूप से, अनुक्रम {sn} को एक अचर अनुक्रम कहा जाता है यदि सभी के लिए, ।
उदाहरण के लिए, अनुक्रम {a} = {a, a, a, a, a,…} एक अचर अनुक्रम है, क्योंकि इस अनुक्रम के सभी पद समान हैं। इसका परिसर एकल समुच्चय {a} है, जो एक परिमित समुच्चय है।
इसलिए, एक अचर अनुक्रम हमेशा एक परिमित अनुक्रम होता है।
उदाहरण 1: अनुक्रम {2} = {2, 2, 2, …} एक अचर अनुक्रम है, क्योंकि इस अनुक्रम के सभी पद समान हैं।
उदाहरण 2: अनुक्रम {0} = {0, 0, 0, …} एक अचर अनुक्रम है, क्योंकि इस अनुक्रम के सभी पद समान हैं।
उदाहरण 3: अनुक्रम {-1} = {-1, -1, -1, …} एक अचर अनुक्रम है, क्योंकि इस अनुक्रम के सभी पद समान हैं।
उदाहरण 4: अनुक्रम {(-1)n} = {-1, 1, -1, …} एक अचर अनुक्रम नहीं है, क्योंकि इस अनुक्रम के सभी पद समान नहीं हैं।
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