Euler number e in Hindi –इस लेख में, हम यूलर नंबर e के परिचय, परिभाषा, अनुप्रयोगों और इतिहास पर चर्चा करेंगे।
यूलर संख्या या ऑयलर संख्या ‘e‘ क्या है (What is Euler’s number e): संख्या e एक गणितीय स्थिरांक है जिसका मान लगभग 2.7182818828459 के बराबर है। e का मान, 50 दशमलव स्थानों तक निम्नलिखित है –
संख्या e की गणना के लिए अनंत श्रृंखला के योग (sum of the infinite series) का भी उपयोग किया जा सकता है। अर्थात,
स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर (उच्चारण “ऑयलर“) के बाद, इसे अक्सर यूलर का नंबर eकहा जाता है। कभी-कभी, इसे यूलर स्थिरांक या नेपियर स्थिरांक के रूप में भी जाना जाता है। हालांकि, ऐसा कहा जाता है कि यूलर की पसंद के प्रतीक ‘e‘ को उनके सम्मान में रखा गया था।
संख्या e, प्राकृतिक लघुगणक (जॉन नेपियरद्वारा की गई खोज) का आधार है। इस स्थिरांक (constant) का उल्लेख पहली बार 1618 में जॉन नेपियर के लघुगणक (logarithms) के काम के परिशिष्ट में एक तालिका में किया गया था।
हालाँकि, इसमें केवल स्थिरांक से परिकलित लघुगणक की एक सूची थी, न कि स्वयं स्थिरांक। ऐसा माना जाता है कि इस तालिका का निर्माण विलियम ओट्रेड (William Oughtred) ने किया था।
जब e को लघुगणक के आधार के रूप में उपयोग किया जाता है, तो संबंधित लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है और इसे आम तौर पर ln (x) या loge(x) के रूप में लिखा जाता है।
स्थिरांक e की खोज स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली (Jacob Bernoulli) ने 1683 में की थी, जिन्होंने चक्रवृद्धि ब्याज का अध्ययन करते हुए निम्नलिखित व्यंजक (जो e के बराबर है) का मान ज्ञात करने का प्रयास किया था:
इसलिए, एक बीजीय व्यंजक (1 + 1/n)n , जो चक्रवृद्धि ब्याज सिद्धांत में होती है, की सीमा e है जहाँ n अनंत की ओर जाता है।
संख्या e एक अपरिमेय संख्या (क्योंकि इसे एक साधारण भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है) और अनुवांशिक (transcendental – क्योंकि यह rational coefficients वाले किसी non-zero polynomial का root नहीं है) है।
गणित में 0, 1, π, और i के साथ संख्या e बहुत महत्वपूर्ण है। ये सभी पाँच संख्याएँ गणित में महत्वपूर्ण और आवर्ती भूमिकाएँ (important and recurring roles) निभाती हैं, और ये पाँच स्थिरांक यूलर की पहचान के एक सूत्रीकरण (one formulation of Euler’s identity) में दिखाई देते हैं, जो आश्चर्यजनक रूप से बताता है कि,
संख्या e इतना खास है।
फलन ex में उल्लेखनीय गुण है कि इसका अवकलन बदलता नहीं है, इसलिए इसके ग्राफ़ के प्रत्येक बिंदु पर ex का मान उस बिंदु पर ex की प्रवणता (slope – ढलान या स्लोप) भी है।
यूलर संख्या ‘e’ का इतिहास (History of the Euler number ‘e’ in Hindi):
यूलर संख्या e का संक्षिप्त इतिहास नीचे दिया गया है:
वर्ष 1618 में, संख्या e पहली बार गणित में एक तालिका में दिखाई दी जिसमें नेपियर(Napier) के लघुगणक पर कार्य के परिशिष्ट में विभिन्न संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक दिए गए थे।
हालाँकि, ये आधार e के लिए लघुगणक (logarithms to base e) थे, इस पर किसी का ध्यान नहीं गया क्योंकि जिस आधार पर लघुगणक की गणना की जाती है, वह उस तरह से उत्पन्न नहीं होता जिस तरह से इस समय लघुगणक के बारे में सोचा गया था। परिशिष्ट में यह तालिका, हालांकि किसी लेखक का नाम नहीं है, लगभग निश्चित रूप से ओउट्रेड (Oughtred) द्वारा लिखी गई थी।
वर्ष 1624 में, कुछ साल बाद, ब्रिग्स (Briggs) के काम में e के लघुगणक आधार 10 (base 10 logarithm of e) के लिए एक संख्यात्मक सन्निकटन (numerical approximation) शामिल था, लेकिन e का कोई उल्लेख नहीं था।
सन् 1647 में, सेंट-विंसेंट (Saint-Vincent) ने एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) के तहत क्षेत्रफल की गणना की, लेकिन यह अभी भी बहस का विषय है कि क्या उन्होंने लघुगणक के साथ संबंध पर विचार किया था या अगर उन्होंने ऐसा किया भी तो भी उनके पास स्पष्ट रूप से संख्या e के सामने आने का कोई कारण नहीं था।
वर्ष 1661 में, हाइजेंस (Huygens) ने rectangular hyperbola yx = 1 के तहत क्षेत्रफल और लघुगणक के बीच संबंध की स्पष्ट रूप से जांच की। जाहिर है, e का मान ऐसा है कि, 1 से e तक rectangular hyperbola के तहत क्षेत्रफल 1 के बराबर है। इसी गुण के कारण, e प्राकृतिक लघुगणक का आधार है, लेकिन यह उस समय गणितज्ञों द्वारा नहीं समझा गया था, हालाँकि वे धीरे-धीरे ऐसी समझ के करीब पहुंच रहे थे। ह्यूजेन्स ने 1661 में एक और प्रगति की। उन्होंने “लघुगणक” वक्र को परिभाषित किया, लेकिन हम इसे घातीय वक्र (exponential curve) के रूप y = kax में संदर्भित करेंगे। फिर से, e के लघुगणक आधार 10 (logarithm to base 10 of e) इसी से प्राप्त होता है, जिसकी गणना ह्यूजेंस ने 17 दशमलव स्थानों पर की थी।
वर्ष 1668 में, निकोलस मर्केटर (Nicolaus Mercator) ने “Logarithmotechnia” प्रकाशित किया था जिसमें log(1+x) की श्रृंखला विस्तार (series expansion) शामिल है। इस काम में, Mercator पहली बार logarithms to base e के लिए “प्राकृतिक लघुगणक” शब्द का उपयोग करता है।
संख्या e एक बार फिर प्रकट नहीं होती है और एक बार फिर कोने के आसपास रहस्यमय रूप से बनी रहती है।
आश्चर्यजनक रूप से, चूंकि लॉगरिदम (लघुगणक) पर यह काम संख्या e को पहचानने के इतने करीब आया था जब इसे पहली बार “खोज” किया गया था, तो यह लॉगरिदम की धारणा के माध्यम से नहीं बल्कि चक्रवृद्धि ब्याज के अध्ययन के माध्यम से आया था।
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