Definition of Variance and Variance Formula in Hindi

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Definition of Variance in Statistics and Variance Formula in Hindi

प्रसरण (Variance in Hindi):

सांख्यिकी में, मानक विचलन के वर्ग अर्थात σ² को ‘प्रसरण ‘ कहा जाता है। इसलिये,

प्रसरण = σ², या σ = √ (प्रसरण)

प्रसरण (Var.), फैलाव या प्रसार का एक सामान्य माप है, जिसमें आंकड़ों के सभी मान (डेटा मान) शामिल होते हैं और इसकी गणना गणितीय सूत्र द्वारा की जाती है। प्रसरण मापता है कि डेटा सेट कितनी दूर तक फैला हुआ है।

प्रसरण की तकनीकी परिभाषा: “प्रसरण N डेटा मानों और माध्य के बीच अंतर के वर्ग का औसत है,” लेकिन यह वास्तव में आपको अपने डेटा के प्रसार का एक बहुत ही सामान्य विचार प्रदान करता है।

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शून्य प्रसरण का अर्थ है कि कोई परिवर्तनशीलता नहीं है; डेटा सेट में सभी नंबर समान हैं, अर्थात आंकड़ों के सभी मान एकसमान है।

उदाहरण:

  • डेटा सेट 12, 12, 12, 12, 12 में प्रसरण शून्य है, क्योंकि इस में सभी संख्याएँ समान हैं ।
  • डेटा सेट 12, 12, 12, 12, 13 का प्रसरण 0.167 है; अतः संख्याओं में एक छोटा सा परिवर्तन बहुत छोटे प्रसरण के बराबर होता है।
  • डेटा सेट 12, 12, 12, 12, 13013 का प्रसरण 28171000 है; अतः संख्याओं में एक बड़ा परिवर्तन एक बहुत बड़ी संख्या (बहुत बड़े प्रसरण) के बराबर होता है।

प्रसरण σ² की गणना के लिए स्टेप्स:

(i) सबसे पहले दिए गए मानों या डेटा के सरल माध्य की गणना करें।

(ii) फिर दिए गए मानों का वर्ग करें और उन्हें जोड़ें।

(iii) अंत में, प्रसरण σ² का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र (formula) का उपयोग करें।

प्रसरण की गणना के लिए सूत्र (Variance Formula in Hindi):

♦ अवर्गीकृत डेटा के लिए प्रसरण:

(i) जब विचलन वास्तविक माध्य से लिया जाय:

{\sigma ^2} = \frac{{\sum {{{\left( {X - \overline X } \right)}^2}} }}{N} = \frac{{\sum {{X^2}} }}{N} - {\left( {\frac{{\sum X }}{N}} \right)^2} = \frac{{\sum {{X^2}} }}{N} - {\left( {\overline X } \right)^2}, 

जहाँ N= प्रेक्षणों की संख्या,

X= श्रेणी में दिये गए प्रेक्षण, और

\overline X = प्रेक्षणों का माध्य. 

(ii) जब विचलन कल्पित माध्य से लिया जाय:

{\sigma ^2} = \frac{{\sum {{d^2}} }}{N} - {\left( {\frac{{\sum d }}{N}} \right)^2},

जहाँ d = X - A, और A कल्पित माध्य है।

♦ वर्गीकृत डेटा के लिए प्रसरण:

(i) जब विचलन वास्तविक माध्य से लिया जाय:

{\sigma ^2} = \frac{{\sum {f{{\left( {X - \overline X } \right)}^2}} }}{N} = \frac{{\sum {f{X^2}} }}{N} - {\left( {\frac{{\sum {fX} }}{N}} \right)^2} = \frac{{\sum {f{X^2}} }}{N} - {\left( {\overline X } \right)^2}

(ii) जब विचलन कल्पित माध्य से लिया जाय:

{\sigma ^2} = \frac{{\sum {f{d^2}} }}{N} - {\left( {\frac{{\sum {fd} }}{N}} \right)^2} \times i,

जहाँ, d = X - A

♦ प्रथम n प्राकृत संख्याओं के लिए प्रसरण:

{\sigma ^2} = \frac{1}{{12}}\left( {{N^2} - 1} \right)

प्रसरण के लिए अतिरिक्त महत्वपूर्ण नोट:

1. डेटा सेट 12, 12, 12, 12, 12 का प्रसरण शून्य है (क्योंकि इस डेटा सेट में सभी मान समान हैं, यानी संख्याएं एकसमान हैं)।

2. प्रसरण शून्य नहीं हो सकता जब तक कि डेटा सेट के सभी मानों का मान समान न हो (उदाहरण के लिए, 12, 12, 12, 12, 12, 12)।

3. प्रसरण अपरिवर्तित रहता है यदि सभी मानों में समान संख्या को जोड़ा या घटाया जाए। उदाहरण के लिए, डेटा “34, 65, 45” का प्रसरण डेटा “134, 165, 145” के समान होगा, क्योंकि प्रसरण प्रेक्षणों और माध्य के बीच के अंतर पर निर्भर करता है, और प्रत्येक डेटा मान में 100 जोड़ने से माध्य भी 100 बढ़ जाता है।

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