Set Theory in Hindi

समुच्चय का परिचय (Introduction of Set in Hindi):

हम आम तौर पर रोजमर्रा की जिंदगी में एक विशेष प्रकार की वस्तुओं के संग्रह के बारे में बात करते हैं, जैसे, ताश का एक डेक, लोगों की भीड़, एक क्रिकेट टीम, आदि। हम गणित में भी संग्रह पाते हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, वास्तविक संख्याएँ, अंक आदि।

विशिष्ट वस्तुओं के सुपरिभाषित संग्रह को समुच्चय (Set) कहा जाता है।

समुच्चय सिद्धांत (Set Theory) एक गणितीय तर्क शाखा है जिसमें हम समुच्चय और उनके गुणों का अध्ययन करते हैं। समुच्चय की अवधारणा अब गणित के लगभग हर क्षेत्र में प्रयोग की जाती है। संबंध (Relations) और फलन (functions) की अवधारणाओं को समुच्चय का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। ज्यामिति, sequencing, प्रायिकता आदि के अध्ययन के लिए समुच्चय का ज्ञान महत्वपूर्ण है।

समुच्चय सिद्धांत की उत्पत्ति (Origin of Set Theory in Hindi):

जॉर्ज कैंटर (1845-1918), जो कि एक जर्मन गणितज्ञ और तर्कशास्त्री थे, ने 1874 और 1897 के बीच “समुच्चय सिद्धांत (Set Theory)” की अवधारणा पेश की थी। उनका समुच्चय सिद्धांत (Set Theory) से परिचय “त्रिकोणमितीय श्रेणी की समस्याएं” पर काम करने के दौरान हुआ, जो कि अब सबसे मौलिक और आवश्यक गणितीय अवधारणाओं में से एक बन गया है।

कैंटर ने समुच्चय को इस प्रकार परिभाषित किया है, “एक समुच्चय धारणा या विचार की निश्चित, विशिष्ट वस्तुओं का एक संग्रह है जिसकी कल्पना समग्र रूप से की जाती है।” वस्तुओं को तत्वों या सेट के सदस्यों के रूप में जाना जाता है।

[यह भी पढ़ें: समुच्चय सिद्धांत की उत्पत्ति और जॉर्ज कैंटर]

समुच्चय की परिभाषा (Definition of Set in Hindi):

“एक समुच्चय विशिष्ट वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है”। समुच्चय की वस्तुओं को उसके सदस्य या तत्व कहते हैं।

उदाहरण के लिए, भारत के सभी राज्यों का समूह एक समुच्चय है, क्योंकि यह समूह वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है। वास्तविक जीवन के कई उदाहरण, जैसे एक वर्ष में महीनों की संख्या, एक सप्ताह में दिनों की संख्या, आदि समुच्चय से संबंधित हैं।

यदि ‘a’ समुच्चय A का एक अवयव है, तो हम कहते हैं कि “a समुच्चय A में है”, यूनानी प्रतीक ∈ (एप्सिलॉन) का प्रयोग वाक्यांश: ‘अवयव है’, ‘सदस्य है’ या ‘में है’; को दर्शाने के लिए किया जाता है। इस प्रकार, हम a ∈ A लिखते हैं।

यदि ‘a’ समुच्चय A का अवयव नहीं है, तो हम a ∉ A लिखते हैं और पढ़ते हैं “a समुच्चय A में नहीं है”।

उदाहरण के लिए,

अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरों के समुच्चय V में, a ∈ V लेकिन b ∉ V.
30 के अभाज्य गुणनखंडों के समुच्चय P में, 3 ∈ P लेकिन 15 ∉ P.

समुच्चय के उदाहरण (Examples of Sets in Hindi):

निम्नलिखित समूहों या संग्रहों पर विचार करें:

अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर, अर्थात्, a, e, i, o, u
हमारे सौर मंडल के ग्रह
अभाज्य संख्याओं का समुच्चय
इंद्रधनुष के रंग
साल के सभी महीने
आपकी कक्षा के सभी लड़कों का संग्रह
लेखक मुंशी प्रेमचंदो द्वारा लिखित उपन्यास
10 से छोटी विषम प्राकृत संख्याएँ, अर्थात् 1, 3, 5, 7, 9
यहां तक कि 10 से कम की प्राकृत संख्याएं, यानी 2, 4, 6, 8
विभिन्न प्रकार के त्रिभुज

ये सभी संग्रह समुच्चय हैं क्योंकि ये संग्रह वस्तुओं के सुपरिभाषित संग्रह हैं।

‘सुपरिभाषित’ शब्द का अर्थ:

उपरोक्त उदाहरणों में, हम देखते हैं कि प्रत्येक संग्रह इस अर्थ में वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है कि हम निश्चित रूप से यह तय कर सकते हैं कि कोई विशेष वस्तु किसी दिए गए संग्रह में है या नहीं।

एक समुच्चय सुपरिभाषित होता है यदि इस बारे में कोई भ्रम नहीं है कि कोई वस्तु उस संग्रह में है या नहीं, अर्थात हम हमेशा यह निश्चित रूप से बता सकते हैं कि समुच्चय में कौन सी वस्तु है और कौन सी वस्तु नहीं है।

उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं कि ‘सोमवार’ एक वर्ष के महीनों में नहीं है, और दूसरी ओर, मार्च इस समूह का है।
उदाहरण के लिए, समुच्चय C = {काला, सफ़ेद, पीला, हरा, लाल, नीला, मैरून} सुपरिभाषित है क्योंकि यह स्पष्ट है कि इस समुच्चय में क्या शामिल है।

इसलिए, एक सुपरिभाषित समुच्चय वह संग्रह होता है जिसमें विशिष्ट वस्तु या तत्व होते है।

उदाहरण के लिए;

1. भारत की दस सबसे खूबसूरत लड़कियों का संग्रह:

यह संग्रह एक समुच्चय नहीं है, क्योंकि एक लड़की की सुंदरता को आंकने के मानदंड अलग-अलग हैं, इसलिए यह संग्रह सुपरिभाषित नहीं है, और इसलिए यह संग्रह एक समुच्चय नहीं है।

2. सबसे खतरनाक जानवरों का संग्रह:

यह संग्रह एक समुच्चय नहीं है, क्योंकि एक जानवर की खतरनाकता को आंकने के मानदंड अलग-अलग हैं, इसलिए यह संग्रह सुपरिभाषित नहीं है, और इसलिए यह संग्रह एक समुच्चय नहीं है।

समुच्चय के लिए निम्नलिखित बिंदुओं पर ध्यान दें:

समुच्चय की वस्तुएँ, तत्व और सदस्य पर्यायवाची शब्द हैं।
सेट को आमतौर पर बड़े अक्षरों A, B, C, X, Y, Z, आदि द्वारा दर्शाया जाता है।
समुच्चय के तत्वों को छोटे अक्षरों a, b, c, x, y, z, आदि द्वारा दर्शाया जाता है।
एक सेट को उसके तत्वों को एक सेट ब्रैकेट { } के अंदर सूचीबद्ध करके स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरों के समुच्चय को इस प्रकार लिखते हैं: V = {a, e, i, o, u}
इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि तत्वों का क्रम बदल गया है या यदि समुच्चय के किसी तत्व को दोहराया जाता है; इस मामले में सभी समुच्चय समान हैं। उदाहरण के लिए, V = {a, e, i, o, u}= {o, e, u, a, i}= {a, e, e, e, i, o, u, u}।

गणित के लिए, समुच्चय के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

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