Origin and History of Set Theory and Georg Cantor in Hindi

समुच्चय सिद्धांत की उत्पत्ति (The Origin of Set Theory in Hindi):

समुच्चय सिद्धांत (Set Theory) के संस्थापक जर्मन गणितज्ञ और तर्कशास्त्री जॉर्ज कैंटर हैं। 1874 और 1897 के बीच, एक जर्मन गणितज्ञ और तर्कशास्त्री जॉर्ज कैंटर (1845-1918) ने “सेट ऑफ़ थ्योरी” या “सेट थ्योरी” की अवधारणा पेश की।

उनका समुच्चय सिद्धांत (Set Theory) से परिचय “त्रिकोणमितीय श्रेणी की समस्याएं” पर काम करने के दौरान हुआ, जो कि अब सबसे मौलिक और आवश्यक गणितीय अवधारणाओं में से एक बन गया है।

Set Theory का सिद्धांत, वास्तविक संख्याओं के कुछ प्रकार के अनंत समुच्चयों से संबंधित कुछ समस्याओं पर उनकी जांच से विकसित हुआ।

कैंटर ने समुच्चय को इस प्रकार परिभाषित किया है,

“एक समुच्चय, धारणा या विचार की निश्चित, विशिष्ट वस्तुओं का एक संग्रह है जिसकी कल्पना समग्र रूप से की जाती है।” वस्तुओं को समुच्चय के तत्वों या सदस्यों के रूप में जाना जाता है।

समुच्चय को समझे बिना अन्य अवधारणाओं जैसे अनुक्रम, संबंध, कार्य, ज्यामिति, संभाव्यता आदि की व्याख्या करना कठिन होगा।

जॉर्ज कैंटर, समुच्चय सिद्धांत के संस्थापक (Georg Cantor, The Founder of Set Theory in Hindi):

सेंट पीटर्सबर्ग (रूस) में पैदा होने के बावजूद, जहां उनके माता-पिता डेनमार्क से स्थानांतरित हो गए थे, जॉर्ज कैंटर (1845-1918) ने अपना अधिकांश जीवन जर्मनी में बिताया।

कम उम्र से ही, अनंत ने उनकी रुचि को आकर्षित किया। अपने तीसवें दशक में, उन्होंने ऐसे लेख प्रकाशित किए जिनसे उन्हें अपने समुच्चय सिद्धांत को विकसित करने में मदद मिली। इन लेखों में, उन्होंने गणितीय अनंतता के संबंध में कई विचारों को औपचारिक रूप दिया।

उन्नीसवीं शताब्दी के अंत तक, कोई भी गणितज्ञ इस विचार से परे अनंत का वर्णन करने में सक्षम नहीं था कि यह बिल्कुल अप्राप्य मान है। जॉर्ज कैंटर इस तरह की अमूर्त अवधारणा को पूरी तरह से संबोधित करने वाले पहले व्यक्ति थे।

उन्होंने इसे समुच्चय सिद्धांत के विकास के माध्यम से किया, उन्हें आश्चर्यजनक निष्कर्ष मिला कि विभिन्न आकारों की अनंतताएं मौजूद हैं। जब उनके अप्रत्याशित विचारों को खारिज कर दिया गया, तो कैंटर ने खुद पर संदेह करना शुरू कर दिया और उन्हें अस्पताल में मरने तक लगातार नर्वस ब्रेकडाउन का सामना करना पड़ा।

आजकल, उनकी नवीन और क्रांतिकारी अंतर्दृष्टि के बिना, आधुनिक गणित को नहीं समझा जा सकता है।

जॉर्ज कैंटर और समुच्चय सिद्धांत का विकास:

कैंटर के अनुसार, समुच्चय परिमित या अपरिमित (अनंत) तत्वों वाली वस्तुओं का संग्रह है। उदाहरण के लिए, एक हाथ की उंगलियों के समुच्चय में परिमित तत्व (अंगूठा, तर्जनी, मध्यमा, अनामिका और कनिष्ठा) होते हैं, जबकि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में अनंत तत्व होते हैं (N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …).

कैंटर ने कार्डिनल को एक समुच्चय में तत्वों की संख्या के रूप में परिभाषित किया: उदाहरण के लिए, एक हाथ की उंगलियों के समुच्चय का कार्डिनल 5 है, जबकि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का कार्डिनल अनंत (∞) है।

हालांकि, कैंटर ने यह भी महसूस किया कि सभी अनंत समुच्चय आकार में समान नहीं होते हैं, ऐसे अनंत समुच्चय हैं जिनमें अलग-अलग कार्डिनल हैं।

इस तथ्य के बावजूद कि समुच्चय की अवधारणा का उपयोग गणित की शुरुआत से ही परोक्ष रूप से किया गया था, जो अरस्तू के विचारों तक विस्तारित था, यह रोजमर्रा के परिमित समुच्चयों तक ही सीमित था। विरोधाभास में “अनंत” को पूरी तरह से अलग रखा गया था। इसे गणितीय चर्चा के बजाय ज्यादातर दार्शनिक बातचीत का विषय माना जाता था।

दूसरी ओर, कैंटर ने साबित कर दिया कि जिस तरह विभिन्न परिमित समुच्चय होते हैं, उसी तरह विभिन्न आकारों के अनंत समुच्चय होते हैं, कुछ गणनीय और कुछ असंख्य।

उन्होंने 1880 और 1890 के दशक के दौरान अपने समुच्चय सिद्धांत को परिष्कृत किया। उन्होंने पावर समुच्चय और सुव्यवस्थित समुच्चयों को परिभाषित किया, साथ ही कार्डिनैलिटी और ऑर्डिनिटी और अनंत समुच्चयों के अंकगणित की अवधारणाओं को पेश किया।

कैंटर के प्रमेय के अनुसार, किसी भी समुच्चय A के लिए, A के पावर समुच्चय में (A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, पावर समुच्चय कहलाता है), A की तुलना में निश्चित रूप से अधिक कार्डिनैलिटी होती है। विशेष रूप से, एक गणनीय अपरिमित समुच्चय (countably infinite set) का पावर समुच्चय अगणनीय अपरिमित (uncountably infinite) है।

(Source – Various books of college library)

Copyrighted Material © 2019 - 2024 Prinsli.com - All rights reserved

All content on this website is copyrighted. It is prohibited to copy, publish or distribute the content and images of this website through any website, book, newspaper, software, videos, YouTube Channel or any other medium without written permission. You are not authorized to alter, obscure or remove any proprietary information, copyright or logo from this Website in any way. If any of these rules are violated, it will be strongly protested and legal action will be taken.