Sequence in hindi – अनुक्रम

अनुक्रम का परिचय (Introduction of Sequence in Hindi):

किसी घटना के घटित होने के एक निश्चित क्रम में संख्याओं का समुच्चय ${s_1},{s_2},{s_3}, \ldots ,{s_n}, \ldots$ अनुक्रम कहलाता है। अर्थात वस्तुओं या संख्याओं की किसी क्रमित सूची को अनुक्रम (sequence) कहते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी समूह के अवयवों को अनुक्रम में सूचीबद्ध करने का मतलब उस समूह के अवयवों को इस प्रकार क्रमिक करना है कि हम उसके अवयवों को प्रथम, द्वितीय, तृतीय संख्या आदि से पहचान सके। इसे $\{ {s_n}\}$ or $\left\langle {{s_n}} \right\rangle$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहां ${s_n}$ अनुक्रम का nवाँ पद है।

अनुक्रम में ‘क्रम’ का बहुत महत्व है। इसलिए अनुक्रम $\left\{ {1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}, \ldots } \right\}$ , अनुक्रम $\left\{ {\frac{1}{2},1,\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{5}, \ldots } \right\}$ से अलग है, अर्थात दोनों अनुक्रम अलग-अलग है भले ही दोनों में समान पद हों। अनुक्रम में एक ही अवयव अलग-अलग स्थानों पर भी आ सकते हैं, अर्थात अनुक्रम में एक ही अवयव की पुनरावृति हो सकती हैं।

वास्तव में अनुक्रम, प्राकृतिक क्रम में लिखे गए, प्राकृतिक संख्या n का एक फलन (function) है, और जिसका डोमेन केवल प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय होता है।

अनुक्रम की परिभाषा (Definition of Sequence):

मान लीजिए कि S एक अरिक्त समुच्चय है। तब एक फलन, जिसका प्रांत (domain) प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N है और जिसका परिसर (range) S का उपसमुच्चय है, समुच्चय S में अनुक्रम कहलाता है।

दूसरे शब्दों में, चूंकि अनुक्रम में पद एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित होते हैं, इसलिए समुच्चय S में अनुक्रम एक नियम है जो प्रत्येक प्राकृत संख्या को S का एक अद्वितीय अवयव (unique element) प्रदान करता है। अर्थात्, अनुक्रम एक ऐसा फलन है जो प्रत्येक स्थिति (पद) में अनुक्रम के अवयवों के लिए प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम का पद) को मैप करता है।

वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम (Sequences of Real Numbers in hindi):

एक अनुक्रम जिसका परिसर R (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) का उपसमुच्चय है, वास्तविक अनुक्रम या वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम कहलाता है, अर्थात वैसे अनुक्रम जिसके पद वास्तविक संख्याएँ हों, उन्हें वास्तविक अनुक्रम (real sequences) कहते हैं। R में अनुक्रम N से R (N into R) तक का एक फलन है।

एक वास्तविक अनुक्रम, समुच्चय N पर परिभाषित एक वास्तविक मान फलन $f:N \to R$ होता है। यह संख्या f(n) इस अनुक्रम का n-वाँ पद हैं | गणित में, किसी अनुक्रम के n-वें पद f(n) को $s_n$ या $t_n$ से दर्शाते हैं, जबकि अनुक्रम f को क्रमशः $\{ {s_n}\}$ या $\{ {t_n}\}$ से दर्शाते हैं।

अनुक्रम का निरूपण (Representation of Sequence in hindi):

एक अनुक्रम को कई अलग-अलग तरीकों से वर्णित किया जा सकता है।

(1). अनुक्रम के पहले कुछ अवयवों को क्रम में सूचीबद्ध करना, जब तक कि आगे के विभिन्न अवयवों को लिखने का नियम स्पष्ट न हो जाए।

उदाहरण के लिए, $\left\langle {1,8,27,64, \ldots } \right\rangle$ वह अनुक्रम है जिसका n-वां पद ${n^3}$ है।

(2). किसी अनुक्रम को उसके n-वें पद के लिए सूत्र (formula) द्वारा परिभाषित करना।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम $\left\langle {1,8,27,64, \ldots } \right\rangle$ को $\left\langle {1,8,27, \ldots ,{n^3}, \ldots } \right\rangle$ या $\left\langle {{n^3}:n \in N} \right\rangle$ या बस $\left\langle {{n^3}} \right\rangle$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(3). एक रिकर्सन फॉर्मूला (Recursion formula) द्वारा अनुक्रम को परिभाषित करना, यानी एक नियम द्वारा जो n-वें पद को ${(n - 1)^{th}}$ पद के संदर्भ में व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए, माना कि सभी $n \ge 1$ के लिए ${a_1} = 1,{a_{n + 1}} = 3{a_n}$ , ये संबंध एक अनुक्रम को परिभाषित करते हैं जिसका n-वाँ पद ${3^{n - 1}}$ है।

अनुक्रम के उदाहरण (Examples of Sequence):

1. सभी ${n \in N}$ के लिए $\left\langle {1,8,27, \ldots ,{n^3}, \ldots } \right\rangle$ या $\left\langle {{n^3}} \right\rangle$ एक अनुक्रम है।

2. $\left\{ {\frac{1}{n}} \right\}$ एक अनुक्रम $\left\{ {1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}, \ldots } \right\}$ है।

3. $\left\{ {\frac{n}{{n + 1}}} \right\}$ एक अनुक्रम $\left\{ {\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}, \ldots } \right\}$ है।

4. $\left\{ {{n^3}} \right\}$ एक अनुक्रम $\left\{ {1,8,27, \ldots ,{n^3}, \ldots } \right\}$ है।

5. $\left\{ {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{n}} \right\}$ एक अनुक्रम $\left\{ { - 1,\frac{1}{2}, - \frac{1}{3},\frac{1}{4}, - \frac{1}{5}, \ldots } \right\}$ है।

6. $\left\{ {{{( - 1)}^n}} \right\}$ एक अनुक्रम $\left\{ { - 1,\;1, - 1,\;1, - 1,\;1, \ldots } \right\}$ है।

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